Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点B的坐标为（$\sqrt{2}$，1），求椭圆的方程；
（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点B的坐标为（$\sqrt{2}$，1），可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，又a²=b²+c²，联立解出即可；
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），C（-x₁，0）．利用斜率计算公式可得：k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k_AC=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{k}{2}$，k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$．由点A，D在椭圆上可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，代入可得a，b的关系，可得离心率．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点B的坐标为（$\sqrt{2}$，1），
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，又a²=b²+c²，
联立解得a²=4，b²=c²=2．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），C（-x₁，0）．
k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k_AC=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{k}{2}$，k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{k}$．
又$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$×$\frac{1}{{b}^{2}}×\frac{k}{2}×（-\frac{1}{k}）$=0，
化为a²=2b²．
∴椭圆的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．