Question

15．复数z₁=1+2i，z₂=-2+i，z₃=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₄=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$i，z₁，z₂，z₃，z₄在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC+∠ADC=225°．

Answer 1

分析 求出复数对应点的坐标以及相关斜率，利用夹角公式求解即可．

解答 解：由题意可知A（1，2），B（-2，1），C（$-\sqrt{3}，-\sqrt{2}$），D（$\sqrt{3}，-\sqrt{2}$），
∴k_AB=$\frac{2-1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，k_BC=$\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$，k_AD=$\frac{2+\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$，k_CD=0，
tan∠ABC=$\frac{\frac{1}{3}-\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}•\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}}$=$\frac{1+\sqrt{3}-6-3\sqrt{2}}{3+3\sqrt{3}+2+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}-5}{5+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，tan∠ADC=$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$，
tan（∠ABC+∠ADC）=$\frac{\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}-5}{5+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}}{1-\frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}-5}{5+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}•\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}}$=$\frac{20+10\sqrt{2}}{20+10\sqrt{2}}$=1．
∴∠ABC+∠ADC=225°．
故答案为：225°．

点评 本题考查复数的几何意义，直线与直线的夹角个数的应用，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．