Question

7．设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；
（2）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；
（3）若函数f（x）=ax³-3x²的图象与直线y=-2有三个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值；
（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值；
（3）讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和最值，由题意可得不等式，解得即可得到a的范围．

解答 解：f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
（1）函数f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=3x平行，
即有f′（-1）=3a+6=3，解得a=-1，此时，切点为（-1，-2），
切线方程为y=3x+1，它与已知直线平行，符合题意．
故a=-1；
（2）a=1时，f′（x）=3x（x-2），
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＜0，或x＞2时，f′（x）＞0，
所以，f（x）的单调减区间为[0，2]，单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4，
当x=0时，f（x）有极大值f（0）=0；
（3）当a=0时，f（x）=-3x²，它与y=-2没有三个公共点，不符合题意，
当a＞0时，由f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）知，
f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{a}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{2}{a}$）上单调递减，
又f（0）=0，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$，所以-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜-2，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$，
又因为a＞0，所以0＜a＜$\sqrt{2}$；
当a＜0时，由f′（x）=3x（ax-2）知，
f（x）在（-∞，$\frac{2}{a}$）和（0，+∞）上单调递减，在（0，$\frac{2}{a}$）上单调递增，
又f（0）=0，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$，所以-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜-2，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$，
又因为a＜0，所以-$\sqrt{2}$＜a＜0；
综上所述，a的取值范围是（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，主要考查极值、最值的求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．