Question

17．已知两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），动点M满足直线MA₁与MA₂的斜率之积是定值$\frac{m}{4}$（m≠0）．
（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
（2）若m=-1，设直线l与（1）中轨迹C相交于E、F两点，直线OE，l，OF的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0）．△OEF的面积为S，以OE、OF为直径的圆的面积分别为S₁，S₂．若k₁，k，k₂恰好构成等比数列，求$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设动点M（x，y），依题意有$\frac{y}{x-2}$$•\frac{y}{x+2}$=$\frac{m}{4}$（m≠0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件，能求出$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$的取值范围．

解答 解：（1）设动点M（x，y），依题意有$\frac{y}{x-2}$$•\frac{y}{x+2}$=$\frac{m}{4}$（m≠0），
整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，m≠0．
∴动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
m∈（-4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
m=-4时，轨迹是圆，
m∈（-∞，-4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在曲线上；
（2）设直线l的方程为y=kx+t，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，
由韦达定理有：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，且△=16（1+4k²-t²）＞0，
∵k₁，k，k₂构成等比数列，∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+t）（k{x}_{2}+t）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即：kt（x₁+x₂）+t²=0，
由韦达定理代入化简得：k²=$\frac{1}{4}$．∵k＞0，∴k=$\frac{1}{2}$，
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故S=$\frac{1}{2}$|EF|•d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$•|t|
=$\sqrt{2-{t}^{2}}$•|t|．
又S₁+S₂=$\frac{π}{4}$（x₁²+y₁²+x₂²+y₂²）
=$\frac{π}{4}$（$\frac{3}{4}$x₁²+$\frac{3}{4}$x₂²+2）
=$\frac{3π}{16}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+$\frac{π}{2}$=$\frac{5π}{4}$为定值．
∴$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$=$\frac{5π}{4}$•$\frac{1}{\sqrt{2-{t}^{2}}•|t|}$≥$\frac{5π}{4}$，
当且仅当t=1∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）时等号成立．
综上：$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{S}$∈[$\frac{5π}{4}$，+∞）．

点评 本题考查轨迹方程的求法和椭圆方程的运用，考查两圆面积和与三角形面积的比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．