Question

5．如图，已知直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，且AC⊥BC，点D是A₁B₁中点．
（1）求证：平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）若异面直线CD与BB₁所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求点C₁到平面A₁CD的距离．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，利用直线与平面垂直的判定定理，能推导出C₁D⊥面A₁ABB₁，由此能够证明平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁；
（2）设点C₁到平面A₁CD的距离为h，则由等体积可求点C₁到平面A₁CD的距离．

解答 （1）证明：在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，C₁D?面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵AC=BC=2，∴A₁C₁=B₁C₁=2，
∵点D是A₁B₁中点，∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥面A₁ABB₁，
∵C₁D?平面CC₁D，
∴平面CC₁D⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：∵C₁C∥B₁B，异面直线CD与BB₁所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠C₁CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AC=BC=2，且AC⊥BC，
∴C₁D=$\sqrt{2}$，
∴CD=2，C₁C=$\sqrt{6}$，A₁C=$\sqrt{10}$，
∴cos∠A₁DC=$\frac{4+2-10}{2×2×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁DC=135°，
∴${S}_{△{A}_{1}DC}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
设点C₁到平面A₁CD的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×1×h$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴点C₁到平面A₁CD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C₁到平面A₁CD的距离，解题时要注意空间思维能力的培养，合理运用等体积法求点C₁到平面A₁CD的距离．