Question

10．如图，AB⊥平面BCD，AB=BC=CD=1，AD与平面BCD成45°的角，
（1）求直线AD与平面ABC所成的角的大小（用反三角表示）；
（2）求D点到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用AB⊥平面BCD，AB=BC=CD=1，AD与平面BCD成45°的角，求出BD，AD，BC的中点E，连结AE，DE，证明DE⊥平面ABC，可得AD与平面ABC所成的角为∠DAE，即可求直线AD与平面ABC所成的角的大小；
（2）由（1）DE⊥平面ABC，可求D点到平面ABC的距离．

解答 解：（1）由AB⊥平面BCD，
∴AD与平面BCD成的角为∠ADB=45°，
∴BD=1，AD=$\sqrt{2}$．
取BC的中点E，连结AE，DE．
由DE⊥AB，DE⊥BC，AB∩BC=B，知DE⊥平面ABC．
∴AD与平面ABC所成的角为∠DAE．
△DAE中，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\sqrt{2}$，∴sin∠ADE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴∠DAE=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴AD与平面ABC所成的角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）由（1）DE⊥平面ABC知，D点到平面ABC的距离为DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的性质与判定，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．