Question

20．已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）求函数H（x）=$\frac{f（x）+g（x）-14x}{-8x}$的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有两个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数大于0，可得函数的单调递增区间；
（2）由已知中函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）-g（x）=2x²-8lnx-14x与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．

解答 解：（1）∵$H（x）=\frac{lnx}{x}$（x＞0）∴H′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
令H′（x）＞0，得0＜x＜e
故函数$H（x）=\frac{lnx}{x}$的单调递增区间为（0，e）…（4分）
（2）$f'（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$（x＞0）
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49，如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6，
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数  …（9分）
（3）方程f（x）=g（x）+m有两个解$?\left\{\begin{array}{l}y=m\\ y=2{x^2}-8lnx-14x\end{array}\right.$有两个解
设h（x）=2x²-8lnx-14x，$h'（x）=4x-\frac{8}{x}-14=\frac{2}{x}（2x+1）（x-4）$（x＞0）
h′（x），h（x）随x变化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m≥-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有两个解．…（14分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．