Question

8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=0，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=4

Answer 1

分析 F在边CD上，从而知道存在实数k，使得$\overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{CD}$，从而根据$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=0$可得到$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}）=0$，进行数量积的计算即可得出k=$\frac{1}{2}$，说明F为边CD中点，而$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$，从而进行数量积的计算即可求得答案．

解答 解：根据已知条件，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}$，（0≤k≤1）；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CD}）=0$；
∴-k•4+2=0；
∴$k=\frac{1}{2}$；
∴F为CD中点；
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}）$=0+2+2+0=4．
故答案为：4．

点评 考查向量加法的几何意义，共线向量基本定理，以及数量积的计算公式，相互垂直向量的数量积为0．