Question

20．数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ，a₂=18．
（1）证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}为等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=3a_n-1+3ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，即得结论；
（2）通过（1）知a_n=n•3ⁿ，利用错位相减法计算S_n-3S_n即可．

解答 （1）证明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{{3}^{n}}$+$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}为公差为1的等差数列；
（2）解：∵a₂=18，∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$-1=2-1=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减，得-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{2n-1}{4}•$3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查求数列的通项，考查等比数列的求和公式，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．