Question

12．三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=AB=$\frac{1}{2}$AC，∠BCA=30°．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥BC，利用平面与平面垂直的性质定理证明BC⊥平面PAB．
（2）取PA的中点D，连结BD，CD，说明∠CDB就是二面角C-PA-B的平面角，通过解三角形即可求出结果．

解答 （1）证明：三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，
PA=PB=AB=$\frac{1}{2}$AC，∠BCA=30°．∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，
BC?平面ABC，∴BC⊥平面PAB．
（2）解：取PA的中点D，连结BD，CD，∵BC⊥平面PAB，PA=PB=AB，
∴BD⊥PA，∴PA⊥平面BCD，∴∠CDB就是二面角C-PA-B的平面角，
设AC=2，则PA=PB=AB=1，则BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=$\sqrt{3}$，
DC=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
cos∠CDB=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角C-PA-B的余弦值为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面才知道判定与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．