Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）求函数图象经过点（$\frac{3}{2}$，1）的切线的方程；
（3）求函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x（x-1），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得其单调性与极值；
（2）由（1）可得${f}^{′}（\frac{3}{2}）$=$\frac{3}{4}$，由点（$\frac{3}{2}$，1）为切点时，可得切线方程；若点（$\frac{3}{2}$，1）不为切点时，设切点为P（x₀，y₀），则切线方程为：y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
把点（$\frac{3}{2}$，1）代入解得x₀，即可得出切线方程．
（3）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1=1，解得x=0或$\frac{3}{2}$．可得函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}（1-f（x））dx$，利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=x²-x=x（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值为f（0）=1；f（x）的极小值为$f（1）=\frac{5}{6}$．
（2）由（1）可得${f}^{′}（\frac{3}{2}）$=$\frac{3}{4}$，∴点（$\frac{3}{2}$，1）为切点时，切线方程为：$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$；
若点（$\frac{3}{2}$，1）不为切点时，设切点为P（x₀，y₀），则切线方程为：y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
把点（$\frac{3}{2}$，1）代入可得：1-$（\frac{1}{3}{x}_{0}^{3}-\frac{1}{2}{x}_{0}^{2}+1）$=$（{x}_{0}^{2}-{x}_{0}）$$（\frac{3}{2}-{x}_{0}）$，解得x₀=0或$\frac{3}{2}$，
取x₀=0，可得切线方程为：y=1．
综上可得：切线方程为：y=1或$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}$．
（3）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1=1，解得x=0或$\frac{3}{2}$．
∴函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：
${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}（1-f（x））dx$=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）dx$=$（\frac{1}{6}{x}^{3}-\frac{1}{12}{x}^{4}）{|}_{0}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{9}{64}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、微积分基本定理，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．