Question

14．已知a，b为实数，函数f（x）=$\frac{1}{x+a}$+b，函数g（x）=lnx．
（1）当a=b=0时，令F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的极值；
（2）当a=-1时，令G（x）=f（x）•g（x），是否存在实数b，使得对于函数y=G（x）定义域中的任意实数x₁，均存在实数x₂∈[1，+∞），有G（x₁）-x₂=0成立，若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）a=b=0带入f（x），从而得出F（x）=$\frac{1}{x}+lnx$，求F′（x），根据F′（x）的符号即可求出F（x）的极值；
（2）根据题意x∈（0，1）∪（1，+∞）时，只需G（x）≥1恒成立即可，从而分x∈（0，1）和x∈（1，+∞）来求G（x）的范围．x∈（0，′1）时，会得到G（x）≥1等价于（bx+1-b）lnx-x+1≤0，从而证明该不等式恒成立即可：设H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，求出$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，并且H（1）=0，H′（1）=0；令Q（x）=blnx+$\frac{1-b}{x}+b-1$，求出Q′（x）=$\frac{b（x+1）-1}{{x}^{2}}$，根据函数的单调性可求出当b$≤\frac{1}{2}$时，（bx+1-b）lnx-x+1≤0成立．同样的办法可求出x∈（1，+∞）时，使G（x）≥1恒成立的b的范围，这两种情况下b的范围求交集即可．

解答 解：（1）$F（x）=\frac{1}{x}+lnx$，$F'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令F'（x）=0，得x=1；
列表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	-	0	+
F（x）	↘	极小值	↗

所以F（x）的极小值为F（1）=1，无极大值；
（2）当a=-1时，假设存在实数b满足条件，则$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立；
1）当x∈（0，1）时，$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$可化为（bx+1-b）lnx-x+1≤0；
令H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，x∈（0，1），问题转化为：H（x）≤0对任意x∈（0，1）恒成立；（*）
则H（1）=0，$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，H'（1）=0；
令$Q（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，则$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}$；
①$b≤\frac{1}{2}$时，因为$b（x+1）-1≤\frac{1}{2}（x+1）-1＜\frac{1}{2}×2-1=0$；
故Q'（x）＜0，所以函数y=Q（x）在x∈（0，1）时单调递减，Q（x）＞Q（1）=0；
即H'（x）＞0，从而函数y=H（x）在x∈（0，1）时单调递增，故H（x）＜H（1）=0，
所以（*）成立，满足题意；
②当$b＞\frac{1}{2}$时，$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}=\frac{{b[x-（\frac{1}{b}-1）]}}{x^2}$；
因为$b＞\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{b}-1＜1$，记$I=（\frac{1}{b}-1，1）∩（0，1）$，则当x∈I时，$x-（\frac{1}{b}-1）＞0$；
故Q'（x）＞0，所以函数y=Q（x）在x∈I时单调递增，Q（x）＜Q（1）=0；
即H'（x）＜0，从而函数y=H（x）在x∈I时单调递减，所以H（x）＞H（1）=0，此时（*）不成立；
所以当x∈（0，1），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立时，$b≤\frac{1}{2}$；
2）当x∈（1，+∞）时，$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$可化为（bx+1-b）lnx-x+1≥0；
令H（x）=（bx+1-b）lnx-x+1，x∈（1，+∞），问题转化为：H（x）≥0对任意的x∈（1，+∞）恒成立；（**）
则H（1）=0，$H'（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，H'（1）=0；
令$Q（x）=blnx+\frac{1-b}{x}+b-1$，则$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}$．
①$b≥\frac{1}{2}$时，$b（x+1）-1＞2b-1≥\frac{1}{2}×2-1=0$；
故Q'（x）＞0，所以函数y=Q（x）在x∈（1，+∞）时单调递增，Q（x）＞Q（1）=0；
即H'（x）＞0，从而函数y=H（x）在x∈（1，+∞）时单调递增，所以H（x）＞H（1）=0，此时（**）成立；
②当$b＜\frac{1}{2}$时，
ⅰ）若b≤0，必有Q'（x）＜0，故函数y=Q（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以Q（x）＜Q（1）=0；
即H'（x）＜0，从而函数y=H（x）在x∈（1，+∞）时单调递减，所以H（x）＜H（1）=0，此时（**）不成立；
ⅱ）若$0＜b＜\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{b}-1＞1$，所以当$x∈（1，\frac{1}{b}-1）$时，$Q'（x）=\frac{b（x+1）-1}{x^2}=\frac{{b[x-（\frac{1}{b}-1）]}}{x^2}＜0$；
故函数y=Q（x）在$x∈（1，\frac{1}{b}-1）$上单调递减，Q（x）＜Q（1）=0，即H'（x）＜0；
所以函数y=H（x）在$x∈（1，\frac{1}{b}-1）$时单调递减，所以H（x）＜H（1）=0，此时（**）不成立；
所以当x∈（1，+∞），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立时，$b≥\frac{1}{2}$；
综上所述，当x∈（0，1）∪（1，+∞），$G（x）=（\frac{1}{x-1}+b）lnx≥1$恒成立时，$b=\frac{1}{2}$，从而实数b的取值集合为$\{\frac{1}{2}\}$．

点评 考查函数极值的概念，根据函数导数求函数极值的方法与过程，构造函数解决问题的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的运用，转化思想的应用，注意正确求导．