Question

6．已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+1在x=2和x=1时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）在x=2时的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求f′（x）=3ax²+2bx-2，根据已知条件x=2，x=1是f（x）的极值点，从而$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，这样即可解出a，b，并且得到$a=-\frac{1}{3}，b=\frac{3}{2}$；
（2）带入a，b的值，写出f（x）和f′（x），求出f（2），和f′（2），这即求出了切点和切线斜率，根据直线的点斜式方程即可写出f（x）在x=2时的切线方程．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-2；
∵f（x）在x=2和x=1时取得极值；
∴$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-2=0}\\{3a+2b-2=0}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得，f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}-2x+1$，f′（x）=-x²+3x-2；
∴f（2）=$-\frac{8}{3}+6-4+1$=$\frac{1}{3}$，f′（2）=-4+6-2=0；
∴所求切线方程为$y=\frac{1}{3}$．

点评 考查极值的概念，函数在极值点处导数的取值情况，根据导数求曲线在某点时切线方程的方法与过程，以及直线的点斜式方程．