Question

1．设x₁，x₂是函数f（x）=（a+1）x³+bx²-x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{2}$，则实数b的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意求导f′（x）=3（a+1）x²+2bx-1，从而可得x₁，x₂是方程3（a+1）x²+2bx-1=0的两个根，利用根与系数的关系可得x₁+x₂=-$\frac{2b}{3（a+1）}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3（a+1）}$，从而可化简|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，从而解得．

解答 解：∵f（x）=（a+1）x³+bx²-x，
∴f′（x）=3（a+1）x²+2bx-1，
∴x₁，x₂是方程3（a+1）x²+2bx-1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2b}{3（a+1）}$，x₁x₂=-$\frac{1}{3（a+1）}$，
∵a≥0，b＞0，
∴两根一正一负，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，
即（-$\frac{2b}{3（a+1）}$）²+4$\frac{1}{3（a+1）}$=8，
故b²=18（a+1）²-3（a+1）≥18-3=15；
故b≥$\sqrt{15}$；
故选B．

点评 本题考查了导数的综合应用及二次方程中根与系数的关系应用，属于中档题．