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    10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半轴长为$\sqrt{2}$．
    （Ⅰ） 求椭圆C的方程；
    （Ⅱ） 已知斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．
    ①若直线l过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；
    ②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．

    分析 （Ⅰ）通过椭圆的离心率以及$b=\sqrt{2}$，a2=b2+c2，求出a，b，即可求出椭圆C的方程．
    （Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，写出直线的方程与椭圆联立方程，求出直线的斜率，推出结果．
    ②k1+k2 为定值，且k1+k2=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立，设A（x1，y1）．B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式求出k1+k2，然后化简求解即可．

    解答 本题满分（12分）．
    解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$b=\sqrt{2}$，a2=b2+c2，
    解得a2=8，b2=2，
    所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（3分）
    （Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=$\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
    联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=0\\{y}_{1}=\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=-2\sqrt{2}\\{y}_{2}=0\end{array}\right.$，
    故${k}_{1}=-\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．…（6分）
    ②k1+k2 为定值，且k1+k2=0．…（7分）
    证明如下：
    设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$．
    由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$，得x2+2mx+2m2-4=0．
    当△=4m2-8m2+16＞0，即-2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点…（8分）
    设A（x1，y1）．B（x2，y2），则x1+x2=-2m．${x}_{1}•{x}_{2}=2{m}^{2}-4$…（9分）
    又${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
    故${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{（y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）{（x}_{1}-2）}{{（x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$．…（10分）
    又${y}_{1}=\frac{1}{2}{x}_{1}+m$，${y}_{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}+m$，
    所以（y1-1）（x2-2）+（y2-1）（x1-2）=$（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）$
    =x1•x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）
    =2m2-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
    故k1+k2=0．…（12分）

    点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想的应用．

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    1．设x1，x2是函数f（x）=（a+1）x3+bx2-x（a≥0，b＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2$\sqrt{2}$，则实数b的最小值为（　　）
    A．4$\sqrt{6}$B．$\sqrt{15}$C．3$\sqrt{2}$D．2$\sqrt{2}$

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    ①D1B与平面ABCD所成角为45°
    ②DC1⊥D1P
    ③二面角 A-A1P-D1的大小为90°
    ④AP+PD1的最小值为$\sqrt{2+\sqrt{2}}$
    其中正确结论的序号是②③④．（写出所有正确结论的序号）

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    （1）求曲线E的方程；
    （2）试问△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    2．已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（　　）
    A．18B．12C．6D．12π

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    1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8$\sqrt{3}$y的焦点．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
    ①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
    ②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．

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    2．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（　　）
    A．f（x1）＜0，f（x2）＜-$\frac{1}{2}$B．f（x1）＞0，f（x2）＞-$\frac{1}{2}$C．f（x1）＜0，f（x2）＞-$\frac{1}{2}$D．f（x1）＞0，f（x2）＜-$\frac{1}{2}$

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