Question

5．已知圆F₁：（x+1）²+y²=r²与圆F₂：（x-1）²+y²=（4-r）²（1≤r≤3），当r的值变化时，两圆的公共点的轨迹为曲线E，过F₂的直线l与曲线E相交于不同的两点M、N．
（1）求曲线E的方程；
（2）试问△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式可知，两圆公共点的轨迹是一个椭圆；
（2）易知，该三角形可被F₁F₂分成两个小三角形，它们的底不变，当其纵坐标之差最大时，所求面积最大．

解答 解：（1）设两圆公共点为P（x，y），则由题意得PF₁=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，PF2=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$．
因为圆F₁：（x+1）²+y²=r²与圆F₂：（x-1）²+y²=（4-r）²（1≤r≤3），
所以PF₁+PF₂=r+4-r=4．
所以P点的轨迹E是以F₁，F₂为焦点的椭圆，由题意知2a=4，c=1，所以b²=3．
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）知E：为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．且F₂（1，0）．
设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程化简后得
（3m²+4）y²+6my-9=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．
所以S=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{4×9}{3{m}^{2}+4}}$
=$12×\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{9（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）+1}}$=12×$\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$．
令t=m²+1≥1，则$S=12×\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}}，t≥1$，显然当t=1，即m=0时，S_max=3．
此时直线l方程为x=1．

点评 本题考查了圆的方程及其性质，椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系及其处理方法，属于常规题．