Question

20．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6．
（1）求异面直线BD与PC所成角的大小；
（2）求二面角P-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．通过$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}=0$，即得异面直线BD与PC所成的角为$\frac{π}{2}$；
（2）所求值即为平面BCD的一个法向量与平面PCD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 解：如图以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则$A（0，0，0），B（2\sqrt{3}，0，0，），C（2\sqrt{3}，6，0），D（0，2，0），P（0，0，3）$．
（1）∵$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，2，0），\overrightarrow{PC}=（2\sqrt{3}，6，-3）$，
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}=0$，
即异面直线BD与PC所成的角为$\frac{π}{2}$；
（2）由题易得平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$，
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{DC}=（2\sqrt{3}，4，0），\overrightarrow{PD}=（0，2，-3）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DC}=2\sqrt{3}x+4y=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PD}=2y-3z=0\end{array}\right.$，
解得平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（2\sqrt{3}，-3，-2）$，
∴cos＜$\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_2}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{0+0-2}{\sqrt{12+9+4}}$=-$\frac{2}{5}$，
即二面角P-DC-B的余弦值为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查求异面直线的夹角、二面角的余弦值，注意解题方法的积累，属于中档题．