Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+bx 在x=3处取得极值．求：
（Ⅰ）函数的解析式；
（Ⅱ）函数的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求f′（x）=x²-2x+b，根据已知条件，x=3是f（x）的极值点，从而f′（3）=0，这样即可求出b=-3，从而求出解析式f（x）；
（Ⅱ）写出f′（x）=x²-2x-3，f′（x）=0有两根x=-1，或3，从而x∈（-∞，-1），或（3，+∞）时，f′（x）＞0，而x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，根据函数导数符号和它的单调性的关系，从而得出f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2x+b；
f（x）在x=3处取得极值；
∴f′（3）=3+b=0；
∴b=-3；
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2x-3，解f′（x）=0得，x=-1，或3；
∴x∈（-∞，-1），或（3，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（-1，3）时，f′（x）＜0；
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为[-1，3]．

点评 考查函数极值的概念，函数在极值点处的导数情况，根据函数导数符号找函数单调区间的方法．