Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1．x≤0}\\{1，x＞0}\end{array}\right.$，试求满足f（1-x²）＞f（-2x）的x的集合．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，结合函数值的大小比较，利用分类讨论进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
∵1-x²≤1，
∴若1-x²＞0，即-1＜x＜1时，f（1-x²）=1，此时不等式不成立，
若x=1，不等式f（1-x²）＞f（-2x）等价为f（0）＞f（-2）不成立，
若x=-1，不等式f（1-x²）＞f（-2x）等价为f（0）＞f（2）不成立，
若x＞1，-2x＜-2，1-x²＜0，
此时不等式f（1-x²）＞f（-2x）等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{1-{x}^{2}＜-2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}-2x-1＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞1+\sqrt{2}或x＜1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得x＞1+$\sqrt{2}$，
若x＜-1，-2x＞2，1-x²＜0，
则f（-2x）=1，f（-x²）＞1，此时不等式f（1-x²）＞f（-2x）恒成立，
综上x＜-1或x＞1+$\sqrt{2}$，
故不等式的解集为（1+$\sqrt{2}$，+∞）∪（-∞，-1）．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的表达式，利用分类讨论是解决本题的关键．