Question

20．解方程：e^x+e^-x-a=0．

Answer 1

分析 利用换元法，将方程转化为一元二次方程，根据判别式以及一元二次方程的求根公式进行求解即可．

解答 解：设t=e^x，则t＞0，
则方程等价为t+$\frac{1}{t}-a$，
即t²-at+1=0，
判别式△=a²-4，
若a²-4＜0，即-2＜a＜2时，方程无解，
若a²-4=0，即a=2或a=-2时，t=$-\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$，
即t=1或t=-1（舍），
由t=e^x=1，解得x=0，
即a=2时，x=0，
a=-2时方程无解．
若a²-4＞0，即a＜-2或a＞2时，
解得t=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或t=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
由t=e^x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$得x=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
由t=e^x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，得x=ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
综上当-2≤a＜2时，方程无解，
当a=2时，方程的解集为{0}，
当a＜-2或a＞2时，方程的解集为{ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}．

点评 本题主要考查方程根的求解，利用换元法转化为一元二次方程是解决本题的关键．