Question

5．在（x-y）¹¹的展开式中，求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项；
（4）项的系数最小的项；
（5）二项式系数的和；
（6）各项系数的和．

Answer 1

分析 根据二项式定理，求出展开式中二项式系数最大的项与项的系数绝对值最大的项以及项的系数最大与最小的项，
利用特殊值法求出展开式中，二项式系数的和以及各项系数的和．

解答 解：（1）（x-y）¹¹的展开式中，二项式系数最大的项为第6项与第7项，
即T₆=${C}_{11}^{5}$•x^11-5•（-y）⁵=-462x⁶y⁵，
T₇=${C}_{11}^{6}$•x^11-6（-y）⁶=462x⁵y⁶；
（2）（x-y）¹¹的展开式中，项的系数绝对值最大的项为第6项与第7项，
即T₆=${C}_{11}^{5}$•x^11-5•（-y）⁵=-462x⁶y⁵，
T₇=${C}_{11}^{6}$•x^11-6（-y）⁶=462x⁵y⁶；
（3）（x-y）¹¹的展开式中，项的系数最大的项为第7项，
即T₇=${C}_{11}^{6}$•x^11-6（-y）⁶=462x⁵y⁶；
（4）（x-y）¹¹的展开式中，项的系数最小的项为第6项，
即T₆=${C}_{11}^{5}$•x⁶（-y）⁵=-462x⁶y⁵；
（5）（x-y）¹¹的展开式中，二项式系数的和（1+1）¹¹=2¹¹=2048；
（6）（x-y）¹¹的展开式中，各项系数的和（1-1）¹¹=0．

点评 本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了二项式展开式中各项系数特征的应用问题，是基础题目．