Question

4．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=2EF=2，AE=EC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AE⊥EF；
（Ⅱ）求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；
（Ⅲ）若点G在线段DE上，求直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体ABCDFG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质证明AE⊥平面BCEF即可证明AE⊥EF；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；
（Ⅲ）确定直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围，结合棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 证明：（I）∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACE，结合AE?平面ACE，
得AE⊥BC，
∵△AEC中，AE=EC=$\sqrt{2}$，AC=2，
∴AE²+EC²=2=AC²
∴∠AEC=90°，即AE⊥EC
∵BC∩EC=C，∴AE⊥平面BCEF；
∵EF?平面BCEF，
∴AE⊥EF
（II）建立如图空间直角坐标系，
∵AC=BC=2EF=2，AE=EC=$\sqrt{2}$．
则AD=$\sqrt{2}$，
∴则由题意得A（0，0，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F（1，-1，1），
D（0，2，0），
$\overrightarrow{AB}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，2，1），$\overrightarrow{BD}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，1，1）．
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{-x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4y=0}\\{-x+2y+z=0}\end{array}\right.$，
则x=1，则y=1，z=0，
即$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{1}{3}$
即平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值为$\frac{1}{3}$．
（3）由题设则$\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DG}$=（λ-2，2-2λ，λ），由（2）知平面ABF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设CG与平面ABF所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{CG}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|λ-2+2-2λ|}{\sqrt{2}•\sqrt{（λ-2）^{2}+（2-2λ）^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{λ}{2\sqrt{3{λ}^{2}-6λ+4}}$，
当λ=0时，sinθ=0，
当λ≠0时，sinθ=$\frac{1}{2\sqrt{4（\frac{1}{λ}）-6•\frac{1}{λ}+3}}$=$\frac{1}{2\sqrt{4（\frac{1}{λ}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}}$，
∵0≤λ≤1，∴$\frac{1}{λ}≥1$，
∴0≤sinθ≤$\frac{1}{2}$
∴直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围为0≤sinθ≤$\frac{1}{2}$，
当sinθ=$\frac{1}{2}$时，此时G与E重合．
∵BC⊥平面ACE，四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，故AD⊥平面ACE，
∵AC=2，AE=EC=$\sqrt{2}$，
∴AE⊥EC，
∵BC⊥AE，
∴多面体ABCDFG的体积V=V_ABCDEF=V_A-BCEF+V_D-ACE=$\frac{1}{3}$$•\frac{1}{2}$（BC+EF）CE•AE+$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•AE•CE•AD$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质定理以及利用向量法求解二面角的应用，综合性较强，难度较大．