Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n．若4S_n-a_n²-2a_n-1=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式求出数列首项，在已知递推式中取n=n+1得另一递推式，两式作差结合a_n＞0，可得数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由4S_n-a_n²-2a_n-1=0，得$4{S}_{1}-{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-1=0$，即$4{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-1=0$，
整理得：$（{a}_{1}-1）^{2}=0$，解得：a₁=1．
再由4S_n-a_n²-2a_n-1=0，得$4{S}_{n+1}-{{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}-1=0$，
两式作差得：$4（{S}_{n+1}-{S}_{n}）-{{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}+{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}=0$，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．