Question

8．已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-32．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3ax²+b，由函数f（x）在点x=2处取得极值c-32．可得$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8a+2b+c=c-32}\\{{f}^{′}（2）=12a+b=0}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）由（1）可得：f（x）=2x³-24x+c，f′（x）=6（x+2）（x-2），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得函数f（x）单调性．可得当x=-2时，函数f（x）取得极大值，解得c．由上面的单调性可知：在[-3，3]上的极小值为f（2）．与f（-3）比较即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵函数f（x）在点x=2处取得极值c-32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8a+2b+c=c-32}\\{{f}^{′}（2）=12a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-24}\end{array}\right.$，
∴a=2，b=-24．
（2）由（1）可得：f（x）=2x³-24x+c，f′（x）=6x²-24=6（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜-2，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得-2＜x＜2，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=-2时，函数f（x）取得极大值，∴f（-2）=-16+48+c=28，解得c=-4．
∴f（x）=2x³-24x-4，f′（x）=6x²-24=6（x+2）（x-2），
由上面的单调性可知：在[-3，3]上的极小值为f（2）=16-48-4=-36．
又f（-3）=-54+72-4=14，∴f（x）在[-3，3]上的最小值为-36．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．