Question

18．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，若异面直线AB₁与BC₁所成的角为60°，则该三棱柱的侧棱长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，分别取AB，B₁C₁，A₁B₁，BB₁的中点为E，F，G，H，设出正三棱柱的高，然后通过解三角形求得答案．

解答 解：如图，

分别取AB，B₁C₁，A₁B₁，BB₁的中点为E，F，G，H，
连接EF，EH，FH，EG，FG，
设正三棱柱的高为2h，又底面边长为2，
则$EH=FH=\sqrt{{h}^{2}+1}$，$EF=\sqrt{4{h}^{2}+1}$．
在三角形EHF中，由余弦定理可得：
EF²=EH²+FH²-2EH•FH•cos120°，
则$4{h}^{2}+1=2{h}^{2}+2-2（{h}^{2}+1）×（-\frac{1}{2}）$，解得：h=$\sqrt{2}$．
∴正三棱柱的高为$2\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角的概念，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．