Question

10．设实数x，y满足2≤$\sqrt{x}$•y≤3，1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2，则使得a≤$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$≤b恒成立的b的最小值是4．

Answer 1

分析 通过对2≤$\sqrt{x}$•y≤3变形可得$\frac{1}{9}$≤$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，利用1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2可得1≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$≤16，两者相乘即得结论．

解答 解：∵2≤$\sqrt{x}$•y≤3，
∴4≤x•y²≤9，∴$\frac{1}{9}$≤$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∵1≤$\frac{x}{\sqrt{y}}$≤2，
∴1≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$≤16，
∴1•$\frac{1}{9}$≤$\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}$•$\frac{1}{x•{y}^{2}}$≤16•$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{9}$≤$\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}$≤4，
故答案为：4．

点评 本题考查不等式的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．