Question

5．已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，P到F₁的距离的最大值为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₁的直线交椭圆与A、B两点，求当三角形ABF₂的面积最大时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用椭圆的性质，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程．
（2）由椭圆左、右两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．设直线l的方程为my=x+1．与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|可得关于m的表达式，再利用导数研究其单调性即可得出三角形的面积的最大值，然后求解直线方程．

解答 解：（1）椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，P到F₁的距离的最大值为3．
可得c=1，a+c=3，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
设直线l的方程为my=x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}my=x+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，化为（4+3m²）y²-6my-9=0．
△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{{（{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{{（\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）}^{2}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{（4+3{m}^{2}）}^{2}}}$．
∴△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{（4+3{m}^{2}）}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{1}{\frac{9{m}^{4}+24{m}^{2}+16}{{m}^{2}+1}}}$=12$\sqrt{\frac{1}{9{（m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$，
令f（m）=$9{（m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}$，1+m²=t≥1．
g（t）=9t+$\frac{1}{t}$，
∵g′（t）=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数g（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴当t=1时，g（t）取得最小值10．
即m=0时，f（m）取得最小值10．
∴△ABF₂面积S取得最大值$12×\sqrt{\frac{1}{10+6}}$=3．
即当AB⊥x轴时，△ABF₂面积S取得最大值3．
所求直线方程为：x=-1．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，焦点弦与三角形的面积最值问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．