Question

17．函数f（x）=x³+2ax²+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• C． （-$∞，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 求导函数，将函数f（x）=x³+2ax²+x在（0，+∞）有两个极值点，转化为方程3x²+4ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根，即可求得实数a的取值范围

解答 解：求导函数，可得f′（x）=3x²+4ax+1
∵函数f（x）=x³+2ax²+x在（0，+∞）有两个极值点，
∴方程3x²+4ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根
∴$\left\{\begin{array}{l}{16{a}^{2}-12＞0}\\{-\frac{4a}{3}＞0}\end{array}\right.$
∴a＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，解题的关键是将函数f（x）=x³+2ax²+x在（0，+∞）有两个极值点，转化为方程3x²+4ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根．