Question

9．如图，四面体ABCD的各棱长均为a，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）证明：线段EF是异面直线AB与CD的公垂线段；
（2）求异面直线AB与CD的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AF，BF，证明EF与AB，CD垂直且相交，即可得出结论；
（2）在Rt△AEF中，根据勾股定理可求出所求．

解答 （1）证明：连结AF，BF．
由△ACD，△BCD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF=BF．
又E为CD的中点，
∴EF⊥AB．
同理，EF⊥CD．
又EF与AB，CD都相交，故线段EF是异面直线AB与CD的公垂线段．
（2）在Rt△AEF中，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AE=$\frac{1}{2}$a，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
故异面直线AB与CD的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题主要考查异面直线公垂线的证明、距离的计算，比较基础．