Question

4．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上，下顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F₁、F₂，以A，B，F₁，F₂为顶点构造椭圆C₂，C₂的焦点在y轴上，记为F′₁、F′₂，再以F₁，F₂，F′₁，F′₂为顶点构造椭圆C₃，C₃的焦点在x轴上，则椭圆C₁的离心率的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 求得椭圆椭圆C₁的上下顶点和焦点，由题意可得椭圆C₂的方程，求出焦点，再由题意求得椭圆C₃的方程，进而得到b＞c＞$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$，由离心率公式，计算即可得到范围．

解答 解：由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得A（0，b），B（0，-b），F₁（-c，0）F₂（c，0），
即有椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（b＞c＞0），
即有F′₁（0，$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$），F′₂（0，-$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$），
由题意可得椭圆C₃：$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}-{c}^{2}}$=1（c＞$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$＞0），
由b＞c＞$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$，可得b²＞c²＞b²-c²，
即有a²-c²＞c²＞a²-2c²，
即2c²＜a²＜3c²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法和离心率的范围，考查运算能力，属于中档题．