Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{8}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，O为坐标原点．
（1）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$$⊥\overrightarrow{OB}$
①求证：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值；
②求△OAB的面积的取值范围．
（2）过M（x₁y₁）的直线l₁：x₁x+2y₁y=8$\sqrt{2}$与过N（x₂，y₂）的直线l₂：x₂x+2y₂y=8$\sqrt{2}$的交点P（x₀，y₀）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G、H两点，求$\overrightarrow{OG}$$•\overrightarrow{OH}$的值．

Answer 1

分析 （1）①设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线L斜率存在时设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系、利用向量垂直与数量积的关系，即可得到定值；
②由弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式可得，化简整理计算即可得到范围；
（2）由点P（x₀，y₀）在直线l₁：x₁x+2y₁y=8$\sqrt{2}$和l₂：x₂x+2y₂y=8$\sqrt{2}$上，有x₁x₀+2y₁y₀=8$\sqrt{2}$，x₂x₀+2y₂y₀=8$\sqrt{2}$，故点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直线xx₀+2yy₀=8$\sqrt{2}$上．求出与椭圆准线的交点G，H，再利用向量垂直与数量积的关系、点P在椭圆上即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+m，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0（*）．
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，则x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴3m²-8k²-8=0，即m²=$\frac{8{k}^{2}+8}{3}$（ⅰ）
①证明：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+4-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+4-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{8+{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{2}{8+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{32+2（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}{64+{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}$
代入韦达定理和（ⅰ），化简整理，可得，$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{3}{8}$；
②将（ⅰ）代入（*）式可得k²∈[0，+∞），
P到L的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
又 S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}}$
当k≠0时S=$\frac{8}{3}$$\sqrt{1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$，
由4k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$∈[4，+∞），故S∈（$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]；
当k=0时，S=$\frac{8}{3}$；
当AB的斜率不存在时，S=$\frac{8}{3}$，
综上S∈[$\frac{8}{3}$，2$\sqrt{2}$]；
（3）点P（x₀，y₀）在直线l₁：x₁x+2y₁y=8$\sqrt{2}$和l₂：x₂x+2y₂y=8$\sqrt{2}$上，
x₁x₀+2y₁y₀=8$\sqrt{2}$，x₂x₀+2y₂y₀=8$\sqrt{2}$，
故点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在直线xx₀+2yy₀=8$\sqrt{2}$上．
故直线MN的方程为xx₀+2yy₀=8$\sqrt{2}$．
设G，H分别是直线MN与椭圆准线x=±4的交点，
由xx₀+2yy₀=8$\sqrt{2}$和x=-4得G（-4，$\frac{4\sqrt{2}+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$）
由xx₀+2yy₀=8$\sqrt{2}$和x=4得H（4，$\frac{4\sqrt{2}-2{x}_{0}}{{y}_{0}}$）
故 $\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=-16+$\frac{32-4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$，
又P（x₀，y₀）在椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
故4x₀²=32-8y₀²，
$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=-16+$\frac{32-（32-8{{y}_{0}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{2}}$=-8．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．