Question

3．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$．
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）设三角形的内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，若a=2，b=2$\sqrt{2}$，f（A）=1．求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，由x∈[0，π]解得x-$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的性质可求f（x）的值域．
（2）由f（A）=2sin（A-$\frac{π}{6}$）+1=1，又A是三角形的内角，0＜A＜π，可解得A的值，由正弦定理可得sinB的值，结合0＜B＜π，可解得：B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，分情况求出C的值，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{3}$）+2sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+1-cosx
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+1
=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1
∵x∈[0，π]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]．
（2）∵f（A）=2sin（A-$\frac{π}{6}$）+1=1，解得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=0，解得：A=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵A是三角形的内角，0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}=\frac{2\sqrt{2}×sin\frac{π}{6}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由0＜B＜π，可解得：B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
∴当B=$\frac{π}{4}$时，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×sin\frac{7π}{12}$=1+$\sqrt{3}$，
当B=$\frac{3π}{4}$时，C=π-A-B=$\frac{π}{12}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×sin\frac{π}{12}$=1-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．