Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+（y-3）²=4的圆心为C，过点P（1，0）的直线l与圆C交于不同的两点A、B．
（1）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）求证：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$为定值；
（3）以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，是否存在直线l，使得直线OD与直线PC平行？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l：x=1或y=k（x-1），运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算即可得到直线方程；
（2）设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆方程，运用韦达定理和参数的几何意义，结合向量数量积的定义，即可得证；
（3）以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，假设存在直线l，使得直线OD与直线PC平行．即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，显然直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-1），代入圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及向量的加法运算和斜率公式，计算即可得到直线的斜率，注意检验．

解答 解：（1）设直线l：x=1或y=k（x-1），
当直线为x=1时，代入圆的方程，可得y=3$±\sqrt{3}$，
即有弦长|AB|=2$\sqrt{3}$，满足题意；
当直线为y=k（x-1），圆心（0，3）到直线的距离d=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
解得d=1，
由$\frac{|-k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=-$\frac{4}{3}$，
即有直线l：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$．
故直线l的方程为x=1或y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$；
（2）证明：设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆x²+（y-3）²=4，可得t²+t（2cosα-6sinα）+6=0，
解得t₁t₂=6，
由于A，B在P的同侧，即有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|
=|t₁t₂|=6；
（3）解：以线段OA、OB为边作平行四边形AOBD，
假设存在直线l，使得直线OD与直线PC平行．
即有$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，
显然直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-1），
代入圆的方程，可得（1+k²）x²-2k（k+3）x+（k+3）²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），
即有△=4k²（k+3）²-4（1+k²）[（k+3）²-4]＞0，
化简得3k²-6k-5＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（k+3）}{1+{k}^{2}}$=x，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{6{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$=y，
由直线OD与直线PC平行，
则有k_OD=k_PC=-3，
即为$\frac{y}{x}$=-3，
即$\frac{6{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$=-3•$\frac{2k（k+3）}{1+{k}^{2}}$，
解得k=0或-$\frac{4}{3}$，
代入3k²-6k-5＞0，检验k=0不成立，
k=-$\frac{4}{3}$成立．
故存在直线l，且方程为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
使得直线OD与直线PC平行．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查直线和圆相交的弦长公式和直线的参数方程的运用，同时考查平面向量的坐标运算，属于中档题．