Question

14．已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．

（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三视图可知，平面PCBM⊥平面ABC，PC⊥BC，利用线面面面垂直的性质定理即可证明；
（2）由三视图可知，PM∥CN 且PM=CN，可得：MN∥PC，MN=PC，MN⊥平面ABC．PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．分别向量垂直与数量积的关系求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：（1）由三视图可知，平面PCBM⊥平面ABC，
平面PCBM∩平面ABC=BC，且PC⊥BC，
∴PC⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
（2）由三视图可知，PM∥CN 且PM=CN，
∴MN∥PC，MN=PC，由（1）知PC⊥平面ABC，
∴MN⊥平面ABC．
PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．
在Rt△AEC中，AC=1，∴CE=$\frac{1}{2}$，
∴C（0，0，0），P（0，0，1），M（0，1，1），B（0，2，0），A$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{CA}$=$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{AM}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，1）$．
设平面MAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+1=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}=（-\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，1）$是平面MAC的一个法向量．
又平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{CP}$=（0，0，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
由图可知二面角M-AC-B为锐二面角，
∴二面角M-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了三视图的性质、线面垂直的性质与判定定理、空间角、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．