Question

9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F，M，N分别是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中点．
（1）求直线EF与MN的夹角；
（2）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；
（3）求二面角N-EF-M的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系．计算$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{MN}$，即可得出直线EF与MN的夹角°．
（2）由MN⊥平面ENF，可取$\overrightarrow{MN}$为平面ENF的一个法向量，设直线MF与平面ENF所成角为θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{MN}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{MF}||\overrightarrow{MN}|}$，可得cosθ．
（3）由MN⊥平面ENF，可取$\overrightarrow{MN}$为平面ENF的一个法向量，设平面EFM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MN}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MN}|}$即可得出．

解答 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），B（1，0，0），$E（\frac{1}{2}，0，1）$，F$（1，\frac{1}{2}，0）$，M$（\frac{1}{2}，1，1）$，N$（1，\frac{1}{2}，1）$．
则$\overrightarrow{EF}$=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{MN}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$．
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+0$=0，
∴$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{MN}$，
∴直线EF与MN的夹角为90°．
（2）$\overrightarrow{MF}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-1）$．
∵MN⊥平面ENF，∴取$\overrightarrow{MN}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$为平面ENF的一个法向量，
设直线MF与平面ENF所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{MF}，\overrightarrow{MN}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{MN}|}{|\overrightarrow{MF}||\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}×\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）∵MN⊥平面ENF，∴取$\overrightarrow{MN}$=$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$为平面ENF的一个法向量，
设平面EFM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{EM}$=（0，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
则$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MN}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直的性质与判定定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．