Question

3．已知函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若数列{a_m}的通项公式为a_m=${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$（m∈N^*），求证：a₁•a₂…a_m＜3（m∈N^*）

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出f（x）的导数，利用导函数的正负得到函数的单调区间：单调递增区间与单调递减区间，注意定义域的运用；
（2）与数列有关的证明题，常用放缩法来解决．由函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上为减函数，再由放缩法，结合等比数列的求和公式，即可得证．

解答 （1）解：由题意，函数的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），
f′（x）$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1-x）^{2}}$=$\frac{x（x-3）}{（x+1）（x-1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞3或-1＜x＜0；由f′（x）＜0，可得1＜x＜3．
则有f（x）的增区间为（-1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）；
（2）证明：由（1）知，函数f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上为减函数，
则当0＜x＜1时，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1-x}$＜f（0）=0，
即ln（1+x）＜$\frac{x}{1-x}$，
令x=$\frac{1}{2013×{2}^{m}+1}$，则ln（1+$\frac{1}{2013×{2}^{m}+1}$）＜$\frac{1}{2013×{2}^{m}}$，
即ln${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$＜$\frac{1}{{2}^{m}}$，
所以am=${（1+\frac{1}{2013{×2}^{m}+1}）}^{2013}$＜${e}^{\frac{1}{{2}^{m}}}$，
又a_m＞0，
所以a₁•a₂…a_m＜${e}^{\frac{1}{2}}$•${e}^{\frac{1}{4}}$…${e}^{\frac{1}{{2}^{m}}}$=${e}^{1-\frac{1}{{2}^{m}}}$＜e＜3．
即有a₁•a₂…a_m＜3（m∈N^*）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握证明不等式成立时所常用的方法．