Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=1，则直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 根据几何性质得出直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角为∠A₁BC₁，转化为直角三角形Rt△A₁C₁B求解，利用边长的关系求解．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°
∴A₁C₁⊥CC₁，A₁C₁⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁，
∴A₁C₁⊥面BCC₁，
∴直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角为∠A₁BC₁，
∵CA=CB=CC₁=1，AB=$\sqrt{2}$
∴Rt△A₁C₁B中A₁C₁=1，A₁B=$\sqrt{3}$，
∴sin∠A₁BC₁=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C

点评 本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考察，属于中档题．