Question

1．已知函数f（x）=log_mx（m＞0且m≠1），点（a_n，2n）在函数f（x）的图象上．
（Ⅰ）若b_n=a_n•f（a_n），当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•log₂a_n，若数列{c_n}是单调递增数列，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a_n=m²ⁿ，由对数的运算性质可得b_n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．由错位相减法，即可得到数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）由对数的运算性质求出c_n，c_n+1，若数列{c_n}是单调递增数列，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$＞1，由恒成立思想，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2n=log_ma_n，即有a_n=m²ⁿ，
b_n=a_n•f（a_n）=m²ⁿ•2n，
当m=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，b_n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
S_n=2$•\frac{1}{3}$+2•2•$\frac{1}{9}$+2•3•$\frac{1}{27}$+…+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ①
$\frac{1}{3}$S_n=2•$\frac{1}{9}$+2•2•$\frac{1}{27}$+2•3•$\frac{1}{81}$+…+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹②
②-①，可得$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{9}$+$\frac{2}{27}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{3}$）n-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
即有S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2•{3}^{n}}$；
（Ⅱ）c_n=a_n•log₂a_n=m²ⁿ•2nlog₂m，m＞0且m≠1．
c_n+1=m²ⁿ⁺²•2（n+1）log₂m，
若数列{c_n}是单调递增数列，
则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{m}^{2n+2}}{{m}^{2n}}$•$\frac{2（n+1）}{2n}$=m²•$\frac{n+1}{n}$＞1，
即为m²＞$\frac{n}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
由于1-$\frac{1}{n+1}$＜1，可得m²≥1，
解得m≥1或m≤-1．
由m＞0且m≠1，可得m＞1．
则实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查等比数列的求和和数列的求和方法：错位相减法，同时考查数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．