Question

6．如图，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁、F₂为其左、右焦点，且|F₁F₂|=2，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作直线l的垂线，垂足分别为P、Q，求四边形PF₁F₂Q面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当k=0时，求出平行四边的面积．当k≠0时，令|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，求出d₁，|PQ|，d₂，利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，转化求解四边形的面积，然后求解最大值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题知$c=1，e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，故$a=\sqrt{2}，b=1$，故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）当k=0时，${S_{四边形P{F_1}{F_2}Q}}=2$；
当k≠0时，令|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则${d_1}=|\frac{-k+m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}|，{d_2}=|\frac{k+m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}|$，$|PQ|=|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
由题知△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0即m²=1+2k²
所以${S_{四边形P{F_1}{F_2}Q}}=\frac{1}{2}（{d_1}+{d_2}）•|PQ|=|\frac{d_1^2-d_2^2}{2k}|=|\frac{2m}{{1+{k^2}}}|$，又m²=1+2k²，故|m|＞1
所以${S_{四边形P{F_1}{F_2}Q}}=|\frac{2m}{{1+{k^2}}}|=\frac{4}{{|m|+\frac{1}{|m|}}}＜2$；
综上，当k=0时，${S_{四边形P{F_1}{F_2}Q}}$取得最大值2．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．