Question

16．如图，空间四边形ABCD中，AB⊥CD，DE是AB与CD的公垂线段，且 AE=BE=DE．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若∠ACB=60°，求直线BD与平面ABC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）证明CD⊥平面ABD，AD⊥BD，即可证明AC⊥BD；
（2）连结CE，作DH⊥CE于H，连结BH，确定BD与平面ABC所成的角为∠DBH，即可求直线BD与平面ABC所成的角的大小．

解答 （1）证明：由已知AB⊥CD，DE⊥CD，AB∩DE=E，
可得CD⊥平面ABD．
又△ABD中，AE=BE=DE，DE⊥AB，
∴AD=BD，AD⊥BD，
又AD为AC在平面ABD内的射影，
∴AC⊥BD；
（2）解：连结CE，作DH⊥CE于H，连结BH．
由AB⊥DE，AB⊥CD知，AB⊥平面CDE，
∴平面ABC⊥平面CDE，
又DH⊥CE，∴DH⊥平面ABC，
故BD与平面ABC所成的角为∠DBH．
∵Rt△CAD≌Rt△CBD，
∴AC=BC，
又∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形．
记AB=a，则CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DE=$\frac{1}{2}$a，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△CDE中，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴DH=$\frac{CD•DE}{CE}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
故在Rt△BDH中，sin∠DBH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故BD与平面ABC所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．