Question

7．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在$\widehat{AB}$上，且OM∥AC．
（1）求证：平面MOE∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥PCB；
（3）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（2）证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB；
（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系，求出平面PCB的法向量、平面PMB的一个法向量，即可求出cosθ的值．

解答 （1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA      
因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，所以OE∥平面PAC．
因为OM∥AC，因为AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以OM∥平面PAC．
因为OE∩OM=O，OM?平面MOE，OE?平面MOE，
所以平面MOE∥平面PAC；
（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，
因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以BC⊥AC
因为PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC
因为BC?平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB；
（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系．
因为∠CBA=30°，PA=AB=2，所以CB=2cos30°=$\sqrt{3}$，AC=1．
延长MO交CB于点D．
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，CD=$\frac{1}{2}$CB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
所以$\overrightarrow{CP}$=（1，0，2），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）．
设平面PCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+2z=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=-2，y=0．
所以$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1）．
同理可求平面PMB的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1）．
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2+1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=-$$\frac{1}{5}$，
即cosθ=$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查面面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．