Question

15．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面B₁BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}＞$=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BF}|}$，可得异面直线AE和BF所成角的余弦值．
（2）设平面BFC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．由正方体的性质可得：AC⊥平面B₁BDD₁，取$\overrightarrow{AC}$为平面B₁BDD₁的法向量．利用$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}$，可得平面B₁BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值．
（3）如图所示，取C₁D₁的中点为H，取D₁H的中点L，连接EL，A₁H．可得EL∥平面BFC₁，分别取AA₁的中点M，AB的中点G，AG的中点N，CK=$\frac{1}{4}CD$．可得平面EMNKL∥平面BFC₁．可得：当点P取L时，EP取得最小值．当点P取K时，EP取得最小值．

解答 解：A（2，0，0），E（1，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，1，2），C₁（0，2，2）．
（1）$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}＞$=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
∴异面直线AE和BF所成角的余弦值是$\frac{4}{5}$．
（2）$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（2，-1，0）．
设平面BFC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）．
由正方体的性质可得：AC⊥平面B₁BDD₁，
取$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0）为平面B₁BDD₁的法向量．
则$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴平面B₁BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（3）如图所示，取C₁D₁的中点为H，取D₁H的中点L，连接EL，A₁H．
则EL∥A₁H∥FC₁，可得EL∥平面BFC₁，
分别取AA₁的中点M，AB的中点G，AG的中点N，CK=$\frac{1}{4}CD$．
连接EM，MN，NK，KL．
可得平面EMNKL∥平面BFC₁．
则当点P取L时，EP取得最小值，EP=$\frac{1}{2}{A}_{1}H$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
当点P取K时，EP取得最小值，EP=$\sqrt{D{K}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直与平行的性质与判定定理、空间角、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．