Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥平面PDC，
E为棱PD的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过AD⊥CD及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，连接EG，则∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，∠EGF二面角E-AC-B的平面角的补角，利用勾股定理即得结论．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为正方形，∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，过点F作FG⊥AC于点G，连接EG，
∵平面PAD⊥平面ABCD且相交于AD，EF?平面PAD，
∴EF⊥平面ABCD，
又FG?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF⊥FG，EF⊥AC，
又FG⊥AC，EF∩FG=F，
∴AC⊥平面EFG，
又EG?平面EFG，∴EG⊥AC，
∴∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，
∴∠EGF二面角E-AC-B的平面角的补角，
设AD=4，在△PAD中，有PA⊥PD，
则$PA=PD=2\sqrt{2}$，∠PDA=45°，
又E为棱PD的中点，则$ED=\sqrt{2}$，EF=DF=1，AF=3，
在Rt△AGF中，$FG=AFsin∠FAG=3×sin45°=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
在Rt△EFG中，$EG=\sqrt{E{F^2}+F{G^2}}=\frac{{\sqrt{22}}}{2}$，
则$cos∠EGF=\frac{FG}{EG}=\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$，
∴二面角E-AC-B的余弦值为$-\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$．

点评 本题考查面面垂直的判定及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．