Question

8．已知数列{a_n}是一个公差不为0的等差数列，且a₂=2，并且a₃，a₆，a₁₂成等比数列，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 通过a₃，a₆，a₁₂成等比数列及a₂=2可得数列{a_n}的通项，利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：设数列{a_n}的公差为d，
又∵a₂=2，
∴a₃=2+d，a₆=2+4d，a₁₂=2+10d，
∵a₃，a₆，a₁₂成等比数列，
∴（2+4d）²=（2+d）（2+10d），
∴d=1或d=0（舍），
∴数列{a_n}的通项为：a_n=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查求数列的通项，涉及到等比数列的性质等知识，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．