Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别是C₁D₁，CC₁的中点，则直线B₁N与平面BDM所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出平面BDM的法向量，利用向量的夹角公式求出直线B₁N与平面BDM所成角的正弦值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则B₁（2，2，2），N（0，2，1），B（2，2，0），D（0，0，0），M（0，1，2）．
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=（-2，0，-1），
∴直线B₁N与平面BDM所成角的正弦值为|$\frac{-4-1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{4+1}}$|=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查直线B₁N与平面BDM所成角的正弦值，考查向量法的运用，正确求出平面BDM的法向量是关键．