Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1）若直线y=kx+2椭圆有两个交点，求出k的取值范围；
（2）经过椭圆左顶点A的直线交椭圆另一点B，线段AB的垂直平分线上的一点P满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，若P点在y轴上，求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，则直线y=kx+2代入椭圆方程，利用△＞0，求出k的取值范围；
（2）分类讨论，利用向量的数量积公式，结合B在椭圆上，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=4，即可求出P点的坐标．

解答 解：（1）直线y=kx+2代入椭圆方程，
可得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵直线y=kx+2与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-48（4k²+1）＞0，
∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设P（0，y₀），
①AB⊥y轴，A（-2，0），B（2，0），
则$\overrightarrow{PA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（2，-y₀）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-4+y₀²=4，
∴y₀=±2$\sqrt{2}$；
②AB与y轴不垂直时，设B（x₁，y₁）（y₁≠0），
AB的中点（$\frac{{x}_{1}-2}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
则线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{{y}_{1}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$（x-$\frac{{x}_{1}-2}{2}$）
令x=0，则y₀=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4+{{y}_{1}}^{2}}{2{y}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$y₁，
∴$\overrightarrow{PA}$=（-2，$\frac{3}{2}$y₀），$\overrightarrow{PB}$=（x₁，$\frac{5}{2}$y₁）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2x₁+$\frac{15}{4}$y₁²=-2x₁+$\frac{15}{4}$•$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=4，
∴x₁=-$\frac{2}{15}$或x₁=-2（舍去），
∴y₁²=$\frac{4-{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{224}{225}$，
∴y₁=±$\frac{4\sqrt{14}}{15}$，
∴y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$，
综上，P点的坐标为（0，±2$\sqrt{2}$），（0，±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$）．

点评 本题考查椭圆方程的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．