Question

11．解不等式．
（1）ax²-5ax+5a＞0（a≠0）；
（2）2x²+kx-k≤0；
（3）x²-5ax+6a²＞0；
（4）ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析 （1）对于不等式 ax²-5ax+5a＞0（a≠0），分a＞0、a＜0两种情况，分别解一元二次不等式，求得它的解集．
（2）对于不等式2x²+kx-k≤0，分△=0、△＜0、△＞0三种情况，分别利用二次函数的性质求得它的解集．
（3）不等式即 （x-2a）（x-3a）＞0，分当a=0和当a＞0两种情况，分别利用二次函数的性质求得它的解集．
（4）对于不等式 ax²-（a+1）x+1＜0，分①当a=0时、②当a≠0时两种情况，分别利用二次函数的性质求得它的解集．

解答 解：（1）对于不等式 ax²-5ax+5a＞0（a≠0），
当a＞0时，有 x²-5x+5＞0，求得x＜$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$或x＞$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$；
当a＜0时，x²-5x+5＜0，求得$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$＜x＜$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$；
综上可得，当a＞0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$ ）∪（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
 当a＜0时，不等式的解集为（$\frac{5-\sqrt{5}}{5}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ ）．
（2）对于不等式2x²+kx-k≤0，当△=k（k+8）=0时，即k=0 或k=-8时，不等式的解集为{x|x=-$\frac{k}{4}$}．
当-8＜k＜0时，△＜0，2x²+kx-k＞0恒成立，2x²+kx-k≤0的解集为∅．
当k＜-8，k＞0时，△＞0，2x²+kx-k≤0的解集为[$\frac{-k-\sqrt{k（k+8）}}{4}$，$\frac{-k+\sqrt{k（k+8）}}{4}$]．
（3）不等式 x²-5ax+6a²＞0即 （x-2a）（x-3a）＞0，
当a=0时，不等式的解集为R；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜2a 或x＞3a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜3a 或x＞2a}．
（4）对于不等式 ax²-（a+1）x+1＜0，①当a=0时，解集为{x|x＞1}；
②当a≠0时，判别式△=（a-1）²，ax²-（a+1）x+1=0的两个实数根分别为$\frac{（a+1）±|a-1|}{2a}$．
若a=1，则不等式的解集为∅；
若0＜a＜1，求得不等式的解集为（1，$\frac{1}{a}$）；
若a＞1，求得不等式的解集为（$\frac{1}{a}$，1）；
若a＜0，求得不等式的解集为{x|x＞1或 x＜$\frac{1}{a}$}．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．