Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+m}（m＞0）$，当x₁，x₂∈R，且x₁+x₂=1时，总有f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$
（1）求m的值；
（2）设S_n=f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）$+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n}{n}）$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意，可令x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，代入函数，计算即可得到m=2，检验成立；
（2）由（1），运用倒序相加求和方法，即可得到S_n．

解答 解：（1）由题意，可令x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，
则f（x₁）=f（x₂）=$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{1}{{4}^{\frac{1}{2}}+m}$=$\frac{1}{4}$，解得m=2，
当m=2时，f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，
x₁+x₂=1时，有f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+2}$
=$\frac{4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+4+2（{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}}{2（4+{4}^{{x}_{1}}+{4}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{1}{2}$，
故m=2；
（2）S_n=f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）$+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n}{n}）$，①
S_n=f（$\frac{n}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{0}{n}$），②
由x₁+x₂=1时，总有f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$，
则①+②，可得
2S_n=[f（$\frac{0}{n}$）+f（$\frac{n}{n}$）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n}{n}$）+f（$\frac{0}{n}$）]
=$\frac{1}{2}$（n+1），
即有S_n=$\frac{n+1}{4}$．

点评 本题考查函数的求值，主要考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于中档题．