Question

14．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱长都相等且∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，则下列结论错误的是（　　）

• A． $\overrightarrow{A{C_1}}$与平面A₁BD的法向量共线
• B． $\overrightarrow{A{C_1}}$与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{D_{\;}}}$，$\overrightarrow{A{A_1}}$夹角互不相等
• C． $|{\overrightarrow{A{C_1}}}|$比$|{\overrightarrow{B{D_1}}}|$长
• D． $\overrightarrow{A{C_1}}$与$\overrightarrow{BC}$夹角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用向量数量积为0判断A；根据对称性说明B错误；设出平行六面体的棱长，求出两向量的模说明C正确；求出两向量夹角的正弦值说明D正确．

解答 解：如图，

∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$•$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}+\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AD}$$-{\overrightarrow{AB}}^{2}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AB}$=0．
同理可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0$，∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$与平面A₁BD的法向量共线，A正确；
由对称性可知，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A{D_{\;}}}$，$\overrightarrow{A{A_1}}$夹角相等，B错误；
设棱长为a，则
$|\overrightarrow{A{C}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}$+2（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$）=3a²+3a²=6a²，
$|\overrightarrow{B{D}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AD}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}+2（\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{AB}）$=2a²．
∴$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$比$|\overrightarrow{B{D}_{1}}|$长，C正确；
$|\overrightarrow{D{C}_{1}}{|}^{2}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）^{2}$=$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{A{A}_{1}}{|}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=3a²．
∴$D{C}_{1}=\sqrt{3}a$．
cos∠DAC₁=$\frac{6{a}^{2}+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×a×\sqrt{6}a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴$sin∠DA{C}_{1}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故D正确．
故选：B．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用平面向量求解空间中的线面关系，考查了平面向量的加减法运算及数量积运算，是中档题．