Question

19．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，点E在棱PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角P-AE-C的余弦值；
（Ⅲ）利用向量法，结合线面平行的判定定理进行求解即可．

解答 证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，
所以△ABC是等边三角形，所以AB=AD=AC=PA=1．
在△PAB中，PA=AB=1，PB=$\sqrt{2}$，
所以PB²=PA²+AB²，即PA⊥AB．
同理可证PA⊥AD，且AB∩AD=A，
所以PA⊥平面ABCD．   …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，取CD中点G，连接AG．
由已知条件易知AB⊥AG，如图以A为原点建立空间直角坐标系．…（4分）
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
所以平面ABCD⊥平面PAD．平面ABCD∩平面PAD=AD，
取AD中点H，连接HC，则HC⊥AD．
所以HC⊥平面PAD．
所以$\overrightarrow{HC}$是平面PAD的法向量，也是平面PAE的法向量．
A（0，0，0），D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），H（$-\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（$-\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），P（0，0，1），
B（1，0，0），
$\overrightarrow{HC}$=（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（$-\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{3}$），…（5分）
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2$\sqrt{3}$），…（6分）
所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{HC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{HC}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{4}$．
由图可知，二面角P-AE-C的平面角为钝角，所以其余弦值为-$\frac{1}{4}$． …（7分）
（ III）存在，点F是棱PC的中点．
设$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PC}$=λ（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），…（8分）
则$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PE}$=（-1，0，1）+λ（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1）=（-1+$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，1-λ），
由（ II）知平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，2$\sqrt{3}$）．
由已题知BF∥平面AEC，等价于$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}=0$，
即（-1+$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，1-λ）•（$\sqrt{3}$，-1，2$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$（-1+$\frac{1}{2}λ$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$λ+2$\sqrt{3}$（1-λ）=0．
解得$λ=\frac{1}{2}$． …（9分），
所以点F是棱PC的中点．…（10分）

点评 本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．